题目内容

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率e=
1
2

(I)若点F在直线l:x-y+1=0上,求椭圆E的方程;
(II)若0<a<1,试探究椭圆E上是否存在点P,使得
PF
PA
=1
?若存在,求出点P的个数;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)∵F(-c,0)在直线l:x-y+1=0上,
∴-c+1=0,即c=1,
e=
c
a
=
1
2
,∴a=2c=2,
∴b=
a2-c2
=
22-12
=
3

从而椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由e=
c
a
=
1
2
,得c=
1
2
a

b=
a2-c2
=
a2-
a2
4
=
3
a
2

椭圆E的方程为
x2
a2
+
4y2
3a2
=1
,其左焦点为F(-
1
2
a,0)
,右顶点为A(a,0),
假设椭圆E上存在点P(x0,y0)(-a≤x0≤a),使得
PF
PA
=1

∵点P(x0,y0)在椭圆上,∴y02=-
3
4
x02+
3
4
a2

PF
PA
=(-
1
2
a-x0,-y0)•(a-x0-y0)

=(-
1
2
a-x0)(a-x0)+y02

=-
1
2
a2-
1
2
ax0+x02-
3
4
x02+
3
4
a2

=
1
4
(x0-a)2
=1.
解得:x0=a±2,
∵0<a<1,∴
x0=a±2∉[-a,a],
故不存在点P,使得
PF
PA
=1
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