题目内容
已知椭圆E:
+
=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率e=
.
(I)若点F在直线l:x-y+1=0上,求椭圆E的方程;
(II)若0<a<1,试探究椭圆E上是否存在点P,使得
•
=1?若存在,求出点P的个数;若不存在,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
(I)若点F在直线l:x-y+1=0上,求椭圆E的方程;
(II)若0<a<1,试探究椭圆E上是否存在点P,使得
PF |
PA |
(Ⅰ)∵F(-c,0)在直线l:x-y+1=0上,
∴-c+1=0,即c=1,
又e=
=
,∴a=2c=2,
∴b=
=
=
.
从而椭圆E的方程为
+
=1.
(Ⅱ)由e=
=
,得c=
a,
∴b=
=
=
,
椭圆E的方程为
+
=1,其左焦点为F(-
a,0),右顶点为A(a,0),
假设椭圆E上存在点P(x0,y0)(-a≤x0≤a),使得
•
=1,
∵点P(x0,y0)在椭圆上,∴y02=-
x02+
a2,
由
•
=(-
a-x0,-y0)•(a-x0,-y0)
=(-
a-x0)(a-x0)+y02
=-
a2-
ax0+x02-
x02+
a2
=
(x0-a)2=1.
解得:x0=a±2,
∵0<a<1,∴
x0=a±2∉[-a,a],
故不存在点P,使得
•
=1.
∴-c+1=0,即c=1,
又e=
c |
a |
1 |
2 |
∴b=
a2-c2 |
22-12 |
3 |
从而椭圆E的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)由e=
c |
a |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴b=
a2-c2 |
a2-
|
| ||
2 |
椭圆E的方程为
x2 |
a2 |
4y2 |
3a2 |
1 |
2 |
假设椭圆E上存在点P(x0,y0)(-a≤x0≤a),使得
PF |
PA |
∵点P(x0,y0)在椭圆上,∴y02=-
3 |
4 |
3 |
4 |
由
PF |
PA |
1 |
2 |
=(-
1 |
2 |
=-
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
=
1 |
4 |
解得:x0=a±2,
∵0<a<1,∴
x0=a±2∉[-a,a],
故不存在点P,使得
PF |
PA |
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