题目内容

已知抛物线C的一个焦点为 $数学公式$ ，其准线方程为 $数学公式$
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程．

解：（1）∵抛物线C的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，其准线方程为 $\text{[math]}$
∴抛物线C的方程为y²=2x；
（2）抛物线的焦点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ），代入y²=2x，
得k²x²-x（k²+2）+ $\text{[math]}$ =0．
设l方程与抛物线相交于两点，∴k≠0．设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根据韦达定理，有x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，从而y₁+y₂=k（x₁+x₂-1）= $\text{[math]}$ ．
设△AOB的重心为G（x，y），则x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y²= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．
②当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（ $\text{[math]}$ ，1）和（ $\text{[math]}$ ，-1），△AOB的重心G（ $\text{[math]}$ ，0），也适合y²= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
因此所求轨迹C的方程为y²= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据抛物线C的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，其准线方程为 $\text{[math]}$ ，可得抛物线C的方程为y²=2x；
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ），代入y²=2x，得k²x²-x（k²+2）+ $\text{[math]}$ =0．设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），根据韦达定理，及三角形的重心坐标公式，即可求出△AOB重心G的轨迹方程；②当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（ $\text{[math]}$ ，1）和（ $\text{[math]}$ ，-1），△AOB的重心G（ $\text{[math]}$ ，0），也适合y²= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，故可得轨迹C的方程．
点评：本题重点考查抛物线的方程，考查抛物线的性质，考查韦达定理的运用，解题的关键是直线与抛物线联立，利用韦达定理解决．