Question

已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲线上的点Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲线在点Q处的切线l∥P₁P₂，则称l为弦P₁P₂的伴随切线．当a=2时，已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的伴随切线l的方程；
（Ⅲ）设g(x)=

a+2e

x

   (a＞0)，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）首先对函数求导，使得导函数等于0，解出x的值，分两种情况讨论：当f′（x）＞0，即x＞2，或x＜-2时；当f′（x）＜0，即-2＜x＜2时，列表做出函数的极值点，求出极值．
（II）设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，根据伴随切线的含义写出弦AB的伴随切线l的方程即可；
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，利用导数求出其最大值，从而得出a的取值范围．

解答：解：（I）f′(x)=a-

2

x

，x＞0．
当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，∴函数f（x）没有极值．
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=

2

a

．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

x	(0， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴当x=

2

a

时，f（x）取得极小值f(

2

a

)=2-2ln

2

a

．
综上，当a≤0时，f（x）没有极值；
当a＞0时，f（x）的极小值为2-2ln

2

a

，没有极小值．
（Ⅱ）当a=2时，设切点Q（x₀，y₀），则切线l的斜率为f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率为kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

．
由已知得，l∥AB，则2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，
所以，弦AB的伴随切线l的方程为：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，
所以F（x）为增函数，F（x）_max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞

4e

e2-1

．
所以a的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数极值的求法，本题解题的关键是对函数求导，求出导函数等于0时对应的变量的取值，再进行讨论，本题是一个中档题目，这个知识点一般出现在综合题目中．