题目内容
(2012•潍坊二模)已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}是各项均不为0的等差数列,点(an+1,S2n-1)在函数f(x)的图象上;数列{bn}满足b1=2,bn≠1,且(bn-bn+1)•g(bn)=f(
)(n∈N*).
(I)求an并证明数列{bn-1}是等比数列;
(II)若数列{cn}满足cn=
,证明:c1+c2+c3+…+cn<3.
b | n |
(I)求an并证明数列{bn-1}是等比数列;
(II)若数列{cn}满足cn=
an |
4n-1•(bn-1) |
分析:(I)由题意点(an+1,S2n-1)在函数f(x)的图象上,所以an2=S2n-1,再令n=1,2求得首项和公差,从而得出通项公式an,利用(bn-bn+1)•g(bn)=f(
)(n∈N*),化简即可证明数列{bn-1}是等比数列;
(II)由(I)得数列{bn-1}的通项,从而可得数列{cn}的通项,用错位相减法求出它的值,即可得到答案.
b | n |
(II)由(I)得数列{bn-1}的通项,从而可得数列{cn}的通项,用错位相减法求出它的值,即可得到答案.
解答:(I)解:因为点(an+1,S2n-1)在函数f(x)的图象上,所以an2=S2n-1,
令n=1,n=2,可得a12=S1,a22=S3,
∴a12=a1,(a1+d)2=3a1+3d
∴a1=1,d=2(d=-1舍去)
∴an=2n-1;
∵(bn-bn+1)•g(bn)=f(
)(n∈N*)
∴4(bn-bn+1)•(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴
=
∴数列{bn-1}是以1为首项,
为公比的等比数列;
(II)证明:由上知bn-1=(
)n-1
∴cn=
=
令Tn=c1+c2+c3+…+cn,
则Tn=
+
+…+
①
∴
Tn=
+
+…+
+
②
①-②得
Tn=
+
+
+…+
-
2-
∴Tn=3-
<3
即c1+c2+c3+…+cn<3.
令n=1,n=2,可得a12=S1,a22=S3,
∴a12=a1,(a1+d)2=3a1+3d
∴a1=1,d=2(d=-1舍去)
∴an=2n-1;
∵(bn-bn+1)•g(bn)=f(
b | n |
∴4(bn-bn+1)•(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴
bn+1-1 |
bn-1 |
3 |
4 |
∴数列{bn-1}是以1为首项,
3 |
4 |
(II)证明:由上知bn-1=(
3 |
4 |
∴cn=
an |
4n-1•(bn-1) |
2n-1 |
3n-1 |
令Tn=c1+c2+c3+…+cn,
则Tn=
1 |
30 |
3 |
31 |
2n-1 |
3n-1 |
∴
1 |
3 |
1 |
31 |
3 |
32 |
2n-3 |
3n-1 |
2n-1 |
3n |
①-②得
2 |
3 |
1 |
30 |
2 |
31 |
2 |
32 |
2 |
3n-1 |
2n-1 |
3n |
2(n+1) |
3n |
∴Tn=3-
n+1 |
3n-1 |
即c1+c2+c3+…+cn<3.
点评:本题主要考查等差数列的通项公式,数列的求和,用错位相减法进行数列求和,属于中档题.

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