Question

已知函数f （x）=

3

sin xcos x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f （x）的最小值和最小正周期；
（2）若函数g （x）的图象与函数f （x）的图象关于y轴对称，记F （x）=f （x）+g （x），求F （x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x）的解析式为sin（2x-

π

6

）-1，由此求得函数f （x）的最小值和最小正周期．
（2）由题意可得g （x）=f （-x）=-sin（2x+

π

6

）-1，从而得到F （x）═-cos 2x-2，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，求得x的范围，即可求得F （x）的单调递增区间．

解答：解：（1）f （x）=

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，（3分）
∴f （x）的最小值为-2，（4分）
f （x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．（5分）
（2）因为函数g （x）的图象与函数f （x）的图象关于y轴对称，
所以g （x）=f （-x）=sin（-2x-

π

6

）-1=-sin（2x+

π

6

）-1，（7分）
∴F （x）=f （x）+g （x）=sin（2x-

π

6

）-1-sin（2x+

π

6

）-1
=

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x-

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x-2=-cos 2x-2，（10分）
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，得kπ≤x≤kπ+

π

2

（12分）
∴F（x）的单调递增区间为[kπ，kπ+

π

2

]，（k∈Z）．（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，三角函数的最值以及单调性，属于中档题．