Question

17．证明：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$≤\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$其中（a，b，c∈R⁺，且abc=1）．

Answer 1

分析 利用a、b、c∈R⁺且abc=1，可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$=$\sqrt{\frac{1}{bc}}$+$\sqrt{\frac{1}{ac}}$+$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：∵a、b、c∈R⁺且abc=1
∴$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$=$\sqrt{\frac{1}{bc}}$+$\sqrt{\frac{1}{ac}}$+$\sqrt{\frac{1}{ab}}$≤$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$．
∴$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$≤\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．