题目内容
【题目】已知双曲线:
的焦距为
,直线
(
)与
交于两个不同的点
、
,且
时直线
与
的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程;
(2)若坐标原点在以线段
为直径的圆的内部,求实数
的取值范围;
(3)设、
分别是
的左、右两顶点,线段
的垂直平分线交直线
于点
,交直线
于点
,求证:线段
在
轴上的射影长为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)求得双曲线的,由等边三角形的性质可得
,
的方程,结合
,
,
的关系求得
,
,进而得到双曲线的方程;
(2)设,
,
,
,联立直线
和
,应用韦达定理和弦长公式,设
的中点为
,求得
的坐标,由题意可得
,应用两点的距离公式,解不等式可得所求范围;
(3)求得,
的坐标和
的坐标,求得
的垂直平分线方程和
的方程,联立解得
的坐标,求出
,即可得证.
解:(1)当直线
与
的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,
,又焦距为
,则
,
解得,
,则所求双曲线
的方程为
.
(2)设,
,由
,得
,
则,
,且
,
又坐标原点在以线段
为直径的圆内,则
,即
,
即,即
,
则, 即
,则
或
,
即实数的取值范围
.
(3)线段在
轴上的射影长是
. 设
,由(1)得点
,
又点是线段
的中点,则点
,
直线的斜率为
,直线
的斜率为
,又
,
则直线的方程为
,即
,
又直线的方程为
,联立方程
,
消去化简整理,得
,又
,
代入消去,得
,
即,则
,
即点的横坐标为
,
则. 故线段
在
轴上的射影长为定值.
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