Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠PDA=45°，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求异面直线EF与CD所成的角；
（3）若AD=3，求点D到面PEF的距离．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理进行判断．
（2）利用异面直线所成角的定义求夹角．
（3）利用向量法求点D到面PEF的距离．

解答：解：（1）取PD的中点M，连接AM，FM，
因为E，F分别是AB、PC的中点．
所以MF∥CD，且MF=

1

2

CD，
所以MF∥AE，且MF=AE，
即四边形AEFM为平行四边形．
因为EF?面PAD，所以EF∥平面PAD；
（2）因为PA⊥平面ABCD，矩形ABCD，所以PA⊥CD，CD⊥AD，
所以CD⊥面PAD，
因为AM?面PAD，
所以CD⊥AM，
所以CD与AM所成的角为90°．
由（1）知四边形AEFM为平行四边形，
所以EF∥AM．
所以异面直线EF与CD所成的角为90°．
（3）以A为坐标原点以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为∠PDA=45°，所以PA=AD=2，
当AD=3，则P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，3，0），D（0，3，0），
因为E是AB的中点，所以E（1，0，0）．
则

PE

=(1，0，-2)，

PC

=(2，3，-2)，

PD

=(0，3，-2)．
设平面PEF的法向量为

n

=(a，b，c)，则

n ? PE =0 n ? PC =0

，
所以

a=2c 2a+3b-2c=0

，不妨设c=1，则a=2，b=-

2

3

，
即

n

=(2，-

2

3

，1)，所以

n

•

PD

=-

2

3

×3-2×1=-4，
|

n

|=

7

3

，|

PD

|=

13

，
所以点D到面PEF的距离d=

| n • PD |

| n |

=

4

7 3

=

12

7

．

点评：本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成角的求法，要求熟练掌握相关的定义和判定定理．