Question

有四个数，前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两个数的和为10，其它两个数的和为11，求这四个数．

Answer 1

分析：由中间两个数和为10，设第二个数为b，得到第三个数为10-b，由其它两个数和为11，设第一个数为a，得到第四个数为11-a，然后由前三个成等差数列，后三个成等比数列，利用等差、等比数列的性质列出关于a与b的两个方程，联立两方程得到方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，即可确定出这四个数．

解答：解：设四个数分别为a、b、10-b、11-a，
∵前三个成等差数列，后三个成等比数列，
则2b=a+（10-b），（10-b）²=b（11-a），
即

a=3b-10① b2-31b+ab+100=0②

，
把①代入②得：b²-31b+b（3b-10）+100=0，
即4b²-41b+100=0，
分解因式得：（b-4）（4b-25）=0，
解得：b=4或b=

25

4

，
∴a=2或a=

35

4

，
∴

a=2 b=4

或

a= 35 4 b= 25 4

，
∴这四个数为2、4、6、9或

35

4

、

25

4

、

15

4

、

9

4

．

点评：此题考查了等差、等比数列的性质，利用了方程的思想，熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键．