题目内容
椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录于下表中：
（1）求C1，C2的标准方程．
（2）如图，过点M（2，0）的直线l与C2相交于A，B两点，A在x轴下方，B在x轴上方，且
=
，求直线l的方程；
（3）与（2）中直线l平行的直线l1与椭圆交于C，D两点，以CD为底边作等腰△PCD，已知P点坐标为（-3，2），求△PCD的面积．
| x | 3 |
|
4 |
| ||||||
| y | -
|
|
-2 |
|
（2）如图，过点M（2，0）的直线l与C2相交于A，B两点，A在x轴下方，B在x轴上方，且
| AM |
| 1 |
| 2 |
| MB |
（3）与（2）中直线l平行的直线l1与椭圆交于C，D两点，以CD为底边作等腰△PCD，已知P点坐标为（-3，2），求△PCD的面积．
（1）设抛物线方程为y2=mx，分别将四个点代入解得m=1，m=-
，m=1，m=
，
故抛物线方程为y2=x；
因此(
，
)(
，-
)两个点为椭圆C1上两点，
设椭圆方程为：
+
=1，将上述两个点坐标代入解得：a2=12，b2=4，
故椭圆方程为
+
=1．
（2）设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立：
消去x得：y2-my-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，
又
=
，
∴-y1=
y2，消去y1，y2，
解得：m=1，
所以直线l的方程为：x=y+2，即x-y-2=0．
（3）设直线l1的方程为：y=x+t，与椭圆交于C（x3，y3）、D（x4，y4）两点，中点为Q（x0，y0），
则PQ为l1的垂直平分线，
C、D在椭圆上可得：
化为（x3+x4）（x3-x4）+3（y3+y4）（y3-y4）=0，
把x0=
，y0=
，1=
．代入可得：x0=-3y0，又y0=-x0-1，
联立解得：x0=-
，y0=
，代入l1的方程，t=2．
∴l1的方程为：y=x+2，
∴PQ的方程为y-
=-(x+
)，化为y=-x-1．
联立
，解得
，
，C、D坐标，
∴|CD|=
=3
，点P到直线CD（l1）的距离h=
．
∴S△PCD=
|CD| ×h=
×3
×
=
．
| 3 |
| ||
| 3 |
故抛物线方程为y2=x；
因此(
| 3 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
设椭圆方程为：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
故椭圆方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
（2）设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立：
|
消去x得：y2-my-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
|
又
| AM |
| 1 |
| 2 |
| MB |
∴-y1=
| 1 |
| 2 |
解得：m=1，
所以直线l的方程为：x=y+2，即x-y-2=0．
（3）设直线l1的方程为：y=x+t，与椭圆交于C（x3，y3）、D（x4，y4）两点，中点为Q（x0，y0），
则PQ为l1的垂直平分线，
C、D在椭圆上可得：
|
把x0=
| x3+x4 |
| 2 |
| y3+y4 |
| 2 |
| y3-y4 |
| x3-x4 |
联立解得：x0=-
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴l1的方程为：y=x+2，
∴PQ的方程为y-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
联立
|
|
|
∴|CD|=
| (-3-0)2+(-1-2)2 |
| 2 |
| 3 | ||
|
∴S△PCD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 | ||
|
| 9 |
| 2 |
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