Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

；抛物线C₂：y²=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2．
（1）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为

2

2

，求出几何量，即可得到椭圆方程；利用抛物线C₂：y²=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2，可求抛物线C₂的方程；
（2）分类讨论，将直线与椭圆、双曲线联立，利用判别式，即可求得结论．

解答：解：（1）由2b=2，得b=1．                                  …（1分）
由

c

a

=

2

2

，得

a2-1

a2

=

1

2

，a2=2．                        …（2分）
∴椭圆C₁的方程是

x2

2

+y2=1．                              …（3分）
依题意有1+

p

2

=2，得p=2，…（4分）
∴抛物线C₂的方程是y²=4x．…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．
由直线l与椭圆C₁相切，可得n=±

2

；
由直线与抛物线C₂相切得n=0．
∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n   …（8分）
当直线l与椭圆C₁相切时，联立

x2 2 +y2=1 y=kx+n

，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
由△1=(4kn)2-4(1+2k2)(2n2-2)=0，得n²=2k²+1，…（10分）
当直线l与抛物线C₂相切时，联立

y2=4x y=kx+n

，得k²x²+2（kn-2）x+n²=0，
由△2=[2(kn-2)]2-4k2n2=0，得kn=1，…（12分）
联立

n2=2k2+1 kn=1

，解得k=

2

2

，n=

2

或k=-

2

2

，n=-

2

．…（13分）
综上，直线l的方程为y=±

2

2

(x+2)．…（14分）

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．