Question

2．当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数k的取值范围．
（1）方程x²-4x+k+2=0的两根都在区间[-1，3]上；
（2）方程x²+kx+1=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上；
（3）方程x²+kx+2=0至少有一个实根小于-1．

Answer 1

分析 由条件利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得k的范围．

解答 解：（1）令f（x）=x²-4x+k+2 的图象的对称轴为x=2，由方程x²-4x+k+2=0的两根都在区间[-1，3]上，
可得$\left\{\begin{array}{l}△=16-4（k+2）≥0\\ f（-1）=7+k≥0\\ f（3）=k-1≥0\end{array}\right.$，由此求得1≤k≤2．
（2）设g（x）=x²+kx+1，方程x²+kx+1=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=k+2＜0}\\{g（0）=1＞0}\\{g（2）=5+2k＞0}\end{array}\right.$，求得-$\frac{5}{2}$＜k＜-2．
（3）设h（x）=x²+kx+2，∵方程x²+kx+2=0至少有一个实根小于-1，
若方程只有一个根小于-1，则由h（-1）=3-k＜0，求得k＞3．
若方程的2个根都小于-1，则有$\left\{\begin{array}{l}{{△=k}^{2}-8≥0}\\{-\frac{k}{2}＜-1}\\{h（-1）=3-k＞0}\end{array}\right.$，求得2$\sqrt{2}$≤k＜3．
若一个根为-1，另一个根小于-1，则由方程x²+kx+2=0可得1-k+2=0，k=3，
此时，方程为（x+1）（x+2）=0，满足条件．
综上可得，k≥2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．