Question

若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（-∞，-1）
D．（-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：依题意，关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集?a²+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，构造函数f（x）=|x-1|-|x-2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．
解答：解：∵|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，
∴a²+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，
构造函数f（x）=|x-1|-|x-2|=，
则a²+a+1＞f（x）_max，
∵f（x）_max=1，
∴a²+a+1＞1，
∴a²+a＞0，解得a＞0或a＜-1．
∴实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（0，+∞）
故选D．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．