Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若(a₂－1)³＋2 012·(a₂－1)＝1，(a_{2 011}－1)³＋2 012(a_{2 011}－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．
①S_{2 011}＝2 011；②S_{2 012}＝2 012；③a_{2 011}＜a₂；④S_{2 011}＜S₂.

Answer 1

②③

该题通过条件(a₂－1)³＋2 012(a₂－1)＝1，(a_{2 011}－1)³＋2 012(a_{2 011}－1)＝－1，考查函数与方程的思想，由于函数f(x)＝x³＋x是奇函数，由条件有f(a₂－1)＝1，f(a_{2 011}－1)＝－1.另外，f′(x)＝3x²＋1＞0，所以，f(x)是单调递增的，而f(1)＝2＞1＝f(a₂－1)，∴a₂－1＜1，a₂＜2，所以，a₂－1＝－(a_{2 011}－1)，∴a₂＋a_{2 011}＝2，且a₂－1＞a_{2 011}－1，∴a₂＞0＞a_{2 011}；又由等差数列{a_n}考查等差数列概念与通项公式，由此可得S_{2 012}＝×2 012＝2 012，d＜0，∴S_{2 011}＝S_{2 012}－a_{2 012}＝2 012－(2－a₂＋d)＝2 010＋a₁＞a₁＋a₂＝S₂.