题目内容

已知数列{a_n}的前n项和是S_n（n∈N*），a₁=1且 $数学公式$
（1）求数列{a_n}的通项公式； $数学公式$ ．

解：（1）∵a₁=1且 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ （n≥2）
2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n两边同除以S_n•S_n-1得
2= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，以2为公差的等差数列．
∴ $\text{[math]}$ =1+2（n-1）=2n-1
∴S_n= $\text{[math]}$ ，
当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a_n= $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$
用数学归纳法证明：
当n=1时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，不等式成立． ①
假设当n=k（k≥2）时成立，即有 $\text{[math]}$
那么当n=k+1时 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
下证 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ 成立．
只需证 $\text{[math]}$
两边平方即为 $\text{[math]}$ ，两边减去1得 $\text{[math]}$
即证8（k+1）²＞4k²+4k+1，
即4k²+12k+7＞0，显然成立②
由①②可知，原不等式对任意正整数n都成立．
分析：（1）将 $\text{[math]}$ 转化为 2S_n•S_n-1=S_n-1-S_n两边同除以S_n•S_n-1得2= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 构造数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，再据Sn与an的关系求数列{a_n}的通项公式
（2） $\text{[math]}$ ，不等式左端无法进一步整理化简，又是与自然数有关，考虑用数学归纳法证明．
点评：本题考查通项公式求解、不等式的证明，用到的知识和方法有，Sn与an的关系，数学归纳法，考查分析解决问题、转化、计算等能力．