Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，若a₃是a₁、a₉的等比中项，且S₅=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{

1

a 2 n

}的前n项和Tn，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₃是a₁、a₉的等比中项，S₅=15，组成方程组，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）n=1时，T_n=1；n≥2时，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

利用放缩法可得结论．

解答：（Ⅰ）解：设数列{a_n}的公差为d（d≠0），则
∵a₃是a₁、a₉的等比中项，S₅=15，
∴

(a1+2d)2=a1(a1+8d) 5a1+10d=15

，∴a₁=d=1
∴a_n=n；
（Ⅱ）证明：n=1时，T_n=1＜2；
n≥2时，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
综上，T_n＜2．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确放缩，利用裂项法求和是关键．