题目内容

(文)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
1anan+1
}的前n项和Sn
分析:(1)由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得
1+2d
1
=
1+8d
1+2d
,故d=1,d=0(舍去由此能求出{an}的通项an
(2)由
1
anan+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,利用裂项求和法能求出数列{
1
anan+1
}的前n项和Sn
解答:解:(1)由题设知公差d≠0,
由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得
1+2d
1
=
1+8d
1+2d
,…(4分)
解得d=1,d=0(舍去),…(4分)
故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n.                        …(5分)
(2)∵
1
anan+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,…(7分)
Sn=(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)=1-
1
n+1
=
n
n+1
.…(10分)
点评:本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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