Question

选修4-1几何证明选讲
已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．
（I）求证．∠CDF=∠EDF
（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．
解答：证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF
∵∠BAD=∠FAB
∴△BAD∽△FAB
∴
∴AB²=AD•AF
∵AB=AC
∴AB•AC=AD•AF
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF
根据割线定理DF•AF=FC•FB
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB
点评：本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．