Question

已知α+2β=

2π

3

，α和β为锐角；
（1）若tan（α+β）=2+

3

；求β；
（2）若tanβ=（2-

3

）cot

α

2

，满足条件的α和β是否存在？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据β=[（α+2β）-（α+β）]，然后利用两角差的正切函数公式对等式两边取正切，根据tan（α+β）=2+

3

和α+2β=

2π

3

化简得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值求出β即可；
（2）由α+2β=

2π

3

两边除以2得到

α

2

+β=

π

3

，两边去正切值得到正切之和和正切之积的关系，然后再根据tanβ=（2-

3

）cot

α

2

得到正切之和，正切之积的值，利用根与系数的关系写出一个方程，求出方程的解，利用特殊角的三角函数值求出α和β，故存在这样的角度满足条件．

解答：解：（1）因为α+2β=

2π

3

，
∴tanβ=tan[（α+2β）-（α+β）]=

tan(α+2β)-tan(α+β)

1+tan(α+2β)tan(α+β)

=

tan 2π 3 -2- 3

1+(2+ 3 )tan 2π 3

=

- 2 3 -2

-2 3 -2

=1
由β为锐角，得到β=

π

4

．
（2）由α+2β=

2π

3

得

α

2

+β=

π

3

，
∴tan（

α

2

+β）=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=tan

π

3

=

3

，
∵tanβ=（2-

3

）cot

α

2

即tan

α

2

tanβ=2-

3

∴tan

α

2

+tanβ=3-

3

，
于是tan

α

2

和tanβ是一元二次方程x²-（3-

3

）x+2-

3

=0的两根，
解得x₁=1，x₂=2-

3

．
若tan

α

2

=1，则α=90°与0＜α＜90°矛盾，舍去；
∴tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
故满足条件的α和β存在，且α=30°，β=45°．

点评：此题把三角函数和一元二次方程综合在一起，考查学生灵活运用角的变换，灵活运用两角差的正切函数的公式化简求值．