Question

已知定点A（-2，0），B（2，0），曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2．
（1）求曲线E的方程；
（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直线l的方程为x=a（a≤

1

2

），延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C满足PC⊥QC，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知P点轨迹为双曲线，由a，c求出b的值，则方程可求；
（2）当直线斜率存在时，设出直线方程，和双曲线方程联立后求得判别式大于0，再由两根之和大于0，且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长，借助于k的范围求弦长的范围，当斜率不存在时直接求解；
（3）由题意可知P、C、Q构成直角三角形，求出R到直线l的距离|RC|=

|PQ|

2

=xR-a，由点P、Q都在双曲线x2-

y2

3

=1上，借助于双曲线的第二定义得到

|PB|

xp- 1 2

=

|QB|

xQ- 1 2

=2，利用合比定理得到xR=

|PQ|+2

4

，与
R到直线l的距离联立可得答案．

解答：（1）解：∵|PA|-|PB|=2，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
则a=1，c=2，∴b²=c²-a²=3．
其方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)；
（2）若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x-2）代入双曲线方程，
得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
由△＞0，

x1+x2=- 4k2 3-k2 ＞0 x1x2=- 4k2+3 3-k2 ＞0

，解得k²＞3，
∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

6(k2+1)

k2-3

=6+

24

k2-3

＞6
当直线斜率不存在时，x₁=x₂=2，得y₁=3，y₂=-3，|PQ|=6，|PQ|的最小值为6    
（3）当PC⊥CQ时，P、C、Q构成直角三角形
∴R到直线l的距离|RC|=

|PQ|

2

=xR-a①
又∵点P、Q都在双曲线x2-

y2

3

=1上，
∴

|PB|

xp- 1 2

=

|QB|

xQ- 1 2

=2，
∴

|PB|+|QB|

xp+xQ-1

=2，即|PQ|=4x_R-2，∴xR=

|PQ|+2

4

②
将②代入①得

|PQ|

2

=

|PQ|+2

4

-a，|PQ|=2-4a≥6，
故有a≤-1．

点评：本题考查了双曲线的方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的用法，双曲线的第二定义是解答（3）的关键，考查了学生综合处理问题的能力和计算能力，是较难的题目．