Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²+ax+b其函数图象经过原点，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（Ⅰ）求实数 a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）是定义在R上的奇函数，且满足当x≥0时，g（x）=f（x），则求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数过原点，则得b=0，由有f（1+x）=f（1-x）可得函数关于x=1对称，然后可求实数 a，b的值；
（Ⅱ）利用函数是奇函数，可求函数g（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵函数经过原点，∴b=0（2分）
又因为对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
∴f（x）的对称轴为x=1（4分）
所以-

a

2

=1，解得a=-2        （6分）
（Ⅱ）当x≥0时，g（x）=x²-2x，
当x＜0时，-x＞0，
g（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x

∵g(x)为奇函数∴g(-x)=-g(x) ∴g(x)=-x2-2x

（10分）
g(x)=

x2-2x -x2-2x

，

(x≥0) (x＜0)

（12分）

点评：本题考查函数解析式的求法，以及利用函数的奇偶性求函数的解析式，利用函数奇偶性的对称性进行转化即可．