题目内容
如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,,,.
⑴求证:;
⑵求直线与平面所成的角;
⑶设点在棱上,,
若∥平面,求的值.
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【答案】
解:【方法一】(1)证明:由题意知 则
(4分)
(2)∵∥,又平面.
∴平面平面.
过作//交于
过点作交于,则
∠为直线与平面所成的角.
在Rt△中,∠,,
∴,∴∠.
即直线与平面所成角为. (8分)
(3)连结,∵∥,∴∥平面.
又∵∥平面,
∴平面∥平面,∴∥.
又∵
∴∴,即
(12分)
【方法二】如图,在平面ABCD内过D作直线DF//AB,交BC于F,分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
(1)设,则,
∵,∴. (4分)
(2)由(1)知.
由条件知A(1,0,0),B(1,,0),
.
设,
则
即直线为. (8分)
(3)由(2)知C(-3,,0),记P(0,0,a),则
,,,,
而,所以,
=
设为平面PAB的法向量,则,即,即.
进而得,
由,得∴
(12分)
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