题目内容
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
,若
且
时,有
成立.
(1)判断在
上的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式;
(3)若对所有的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
或
或
【解析】
(1)利用函数单调性的定义,奇函数的性质,结合,判断
在
上的单调递增;
(2) 根据(1)的结论,以及函数的定义域,列出不等式组,求出x的范围;
(3)根据(1)的结论和条件,将问题转化为m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0对a∈[-1,1]恒成立,构造函数g(a)= -2ma+m2,进而求得m的取值范围.
任取x1,x2∈[-1,1]且x1<x2,则-x2∈[-1,1],
∵f(x)为奇函数,∴f(-x2)= -f(x2),
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
由已知得>0,
<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
(2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,∴ ,解得
(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增,∴在[-1,1]上,f(x)≤1.
问题转化为m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]恒成立.
设g(a)=-2m·a+m2.
①若m=0,则g(a)=0≥0,对a∈[-1,1]恒成立.
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0,对a∈[-1,1]恒成立,必须g(-1)≥0,且g(1)≥0,∴m≤-2或m≥2.
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2.
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