题目内容

已知函数f(x)=
a
x
+lnx
,g(x)=
1
2
bx2-2x+2
,a,b∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记函数h(x)=f(x)+g(x),当a=0时,h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求实数b的取值范围.
分析:(Ⅰ)求f(x)的导数,利用导数大于0时f(x)是增函数,导数小于0时f(x)是减函数,得出f(x)的单调区间;
(Ⅱ)a=0时求出h(x)的导数,由h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,得h′(x)=0,即p(x)=bx2-2x+1在(0,1)上有且只有一个零点,解得b的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
a
x
+lnx
的定义域是(0,+∞),且f′(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2

∴①若a≤0,则f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
②若a>0,令f′(x)=0,得x=a,
当0<x<a时,f′(x)<0,当x>a时,f′(x)>0,
∴(0,a)是f(x)的单调减区间,(a,+∞)是f(x)的单调增区间;
综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间是(0,+∞),
当a>0时,f(x)的单调减区间是(0,a),单调增区间是(a,+∞);
(Ⅱ)a=0时,h(x)=f(x)+g(x)=
1
2
bx2-2x+2+lnx,
∴h′(x)=bx-2+
1
x
=
bx2-2x+1
x

∵h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,
由h′(x)=0,得bx2-2x+1=0;
设p(x)=bx2-2x+1,
即p(x)在(0,1)上有且只有一个零点,且p(0)•p(1)<0,
即(b×02-2×0+1)(b×12-2×1+1)<0,
解得b<1;
∴h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时,b<1;
∴b的取值范围是{b|b<1}.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的问题,是易错题.
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