Question

15、等差数列{a_n}中，公差为d，前n项的和为S_n，有如下性质：
（1）通项a_n=a_m+（n-m）d；
（2）若m+n=p+q，m、n、p、q∈N^*，则a_m+a_n=a_p+a_q；
（3）若m+n=2p，则a_m+a_n=2a_p；
（4）S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n构成等差数列．
请类比出等比数列的有关性质．

Answer 1

分析：等比数列通常与等差数列类比，加法类比为乘法，算术平均数类比为几何平均数，本题是一个加法类比为乘法，算术平均数类比为几何平均数．

解答：解：等比数列{a_n}中，公比为q，前n项和为S_n，则可以推出以下性质：
（1）a_n=a_mq^n-m；
（2）若m+n=p+q，m、n、p、q∈N^*，则a_m•a_n=a_p•a_q；
（3）若m+n=2p，则a_m•a_n=a_p²；
（4）当q≠-1时，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n构成等比数列．

点评：在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．