Question

已知数列a_n中，a₁=

1

2

，点（n，2a_n+1，-a_n）在直线y=x上，其中n=l，2，3，…．（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，证明数列b_n是等比数列；（2）求数列a_n的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）将点代入直线的方程，得到{a_n}相邻项的关系，求出

bn+1

bn

为常数，利用等比数列的定义证得结论．
（2）利用等比数列的通项公式求出b_n，利用逐差相加法求出a_n，利用分组法求出数列的前n项和．

解答：解：（1）由已知得a1=

1

2

，2an+1=an+n
∴a2=

3

4

则a2-a1-1=-

3

4

∴

bn+1

bn

=

an+2-an+1-1

an+1-an-1

=

1

2

∴数列{b_n}是以-

3

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列
（2）由（1）知，bn=-

3

4

×(

1

2

)n-1=-

3

2

×

1

2n

∴an+1-an-1=-

3

2

×

1

2n

得an-an-1=-

3

2

×

1

2n-1

+1
…
a3-a2=-

3

2

×

1

22

+1
a2-a1=-

3

2

×

1

2

+1
各式相乘得an-a1=-

3

2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)+(n-1)
∴an=a1+n-1-

3

2

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2n

+n-2
∵Sn=3(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+（1+2+3+…+n）-2n=-

3

2n

+

n2-3n

2

+3

点评：求数列的前n项和关键判断出通项的特点，再选择合适的方法求和．