Question

（1）已知二阶矩阵A对应的变换将点（1，0）与点（-1，1）分别变换成点（2，3）与点（-2，-4），求矩阵A及其特征值．
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是

x=2+t y=2-2t

（t为参数），圆C的参数方程是

x=1+4cosa y=4sina

（a为参数），求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，求出矩阵A，写出特征多项式，可求特征值；
（2）化参数方程为普通方程，利用点到直线的距离公式，即可求直线l被圆C截得的弦长．

解答：解：（1）设A=

a b c d

，则
∵二阶矩阵A对应的变换将点（1，0）与点（-1，1）分别变换成点（2，3）与点（-2，-4），
∴

a b c d 1 0 = 2 3 a b c d -1 1 = -2 4

∴

a=2 c=3 -a+b=-2 -c+d=-4

，∴a=2，b=0，c=3，d=-1
∴A=

2 0 3 -1

由f(λ)=

.

λ-2 0 -3 λ+1

.

=（λ-2）（λ+1）=0，得λ=2或-1
∴矩阵A的特征值是2和-1；
（2）直线l的参数方程是

x=2+t y=2-2t

（t为参数），普通方程为2x+y-6=0；
圆C的参数方程是

x=1+4cosa y=4sina

（a为参数），普通方程为（x-1）²+y²=16，
∴圆心C到直线l的距离为d=

|2-6|

5

=

4

5

∴直线l被圆C截得的弦长为2

16-( 4 5 )2

=

16 5

5

．

点评：本题考查矩阵及极值的特征值，考查参数方程与普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．