题目内容
如图,在长方体AC1中,,点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心.以D为坐标原点,DA、DC、DD1所为直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,试用向量方法解决下列问题:(1)求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
【答案】分析:(1)建立空间直角坐标系,求出A、F、B、E、C的坐标,求出,即可求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求出,平面BEC的一个法向量,利用,求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
解答:解:(1)以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),F(1,2,),
B(2,2,0),E(1,1,),C(0,2,0).
∴,…(4分)
∴=1-2+1=0…(6分)
所以AF和BE所成的角为90°.…(7分)
(2)设平面BEC的一个法向量为,
又 ,,
则:,.
∴x=0,令z=1,则:,∴=(0,,1).…(10分)
∴.…(12分)
设直线AF和平面BEC所成角为θ,则:.
即 直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.…(14分)
点评:本题考查空间向量的数量积的应用,异面直线所成的角的求法,直线与平面所成角的求法,考查计算能力.
(2)求出,平面BEC的一个法向量,利用,求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
解答:解:(1)以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),F(1,2,),
B(2,2,0),E(1,1,),C(0,2,0).
∴,…(4分)
∴=1-2+1=0…(6分)
所以AF和BE所成的角为90°.…(7分)
(2)设平面BEC的一个法向量为,
又 ,,
则:,.
∴x=0,令z=1,则:,∴=(0,,1).…(10分)
∴.…(12分)
设直线AF和平面BEC所成角为θ,则:.
即 直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.…(14分)
点评:本题考查空间向量的数量积的应用,异面直线所成的角的求法,直线与平面所成角的求法,考查计算能力.
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