题目内容

已知椭圆C1
x2
4
+
y2
3
=1
,抛物线C2y2=4x,过椭圆C1右顶点的直线l交抛物线C2于A,B两点,射线OA,OB分别与椭圆交于点D,E,点O为原点.
(Ⅰ)求证:点O在以DE为直径的圆的内部;
(Ⅱ)记△ODE,△OAB的面积分别为S1,S2,问是否存在直线l使S2=3S1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
分析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=my+2,代入y2=4x,根据方程的根与系数关系可求y1+y2,y1y2,要证明点O在以DE为直径的圆的内部;只要证明
OA
OB
<0
即可
(2)设D(x3,y3),E(x4,y4),则射线OA:y=
4
y1
x
,代入
x2
4
+
y2
3
=1
y32=
64×3
3y12+64
,同理可得y42=
64×3
3y22+64
,代入检验即可验证
解答:(1)证明:设直线l:x=my+2,代入y2=4x得y2-4my-8=0
设A(x1,y1),B(x2,y2
∴y1+y2=4m,y1y2=-8,x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4
OA
OB
=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+2m(y1+y2)+4=-4<0
∴∠AOB>90°即∠DOE>90°
∴点O在以DE为直径的圆的内部
(2)设D(x3,y3),E(x4,y4
则射线OA:y=
4
y1
x
,代入
x2
4
+
y2
3
=1
y32=
64×3
3y12+64

同理y42=
64×3
3y22+64

(
s2
s1
)
2
=(
|y1y2|
|y3y4|
)2
=
64
64×3
3y12+64
64×3
3y22+64
=
(3y12+64)(3y22+64)
64×9

=
73+3[(y1+y2)2-2y1y2]
9

=
73+3(16m2+16)
9

=
121+48m2
9
=9
∴m2=-
5
6

故不存在满足条件的直线l
点评:本题主要考查了直线与抛物线的 相交关系的应用,方程的根与系数关系的应用,属于综合性试题
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