题目内容

x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅰ)求证:点O在以DE为直径的圆的内部;
(Ⅱ)记△ODE,△OAB的面积分别为S1,S2,问是否存在直线l使S2=3S1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
分析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=my+2,代入y2=4x,根据方程的根与系数关系可求y1+y2,y1y2,要证明点O在以DE为直径的圆的内部;只要证明
•
<0即可
(2)设D(x3,y3),E(x4,y4),则射线OA:y=
x,代入
+
=1得y32=
,同理可得y42=
,代入检验即可验证
OA |
OB |
(2)设D(x3,y3),E(x4,y4),则射线OA:y=
4 |
y1 |
x2 |
4 |
y2 |
3 |
64×3 |
3y12+64 |
64×3 |
3y22+64 |
解答:(1)证明:设直线l:x=my+2,代入y2=4x得y2-4my-8=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴y1+y2=4m,y1y2=-8,x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4
∴
•
=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+2m(y1+y2)+4=-4<0
∴∠AOB>90°即∠DOE>90°
∴点O在以DE为直径的圆的内部
(2)设D(x3,y3),E(x4,y4)
则射线OA:y=
x,代入
+
=1得y32=
,
同理y42=
∴(
)2=(
)2=
=
=
=
=
=9
∴m2=-
故不存在满足条件的直线l
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴y1+y2=4m,y1y2=-8,x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4
∴
OA |
OB |
∴∠AOB>90°即∠DOE>90°
∴点O在以DE为直径的圆的内部
(2)设D(x3,y3),E(x4,y4)
则射线OA:y=
4 |
y1 |
x2 |
4 |
y2 |
3 |
64×3 |
3y12+64 |
同理y42=
64×3 |
3y22+64 |
∴(
s2 |
s1 |
|y1y2| |
|y3y4| |
64 | ||||
|
(3y12+64)(3y22+64) |
64×9 |
=
73+3[(y1+y2)2-2y1y2] |
9 |
=
73+3(16m2+16) |
9 |
=
121+48m2 |
9 |
∴m2=-
5 |
6 |
故不存在满足条件的直线l
点评:本题主要考查了直线与抛物线的 相交关系的应用,方程的根与系数关系的应用,属于综合性试题

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