Question

设函数f（x）=x²-2tx+4t³+t²-3t+3，其中x∈R，t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间[-1，1]内的单调性；
（3）若当t∈[-1，1]时，|g（t）|≤k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=2x-2t，当x＞t时和当x＜t时函数的增减性即可得到f（x）的最小值为f（t）=g（t）算出即可
（2）求出g（t）=0求出函数驻点，在[-1，1]上讨论函数的单调性即可；
（3）要讨论，|g（t）|≤k恒成立即g（t）的最大值≤k，求出g（t）的最大值列出不等式求出k的范围即可．

解答：解：（1）根据题意得f′（x）=2x-2t=0得x=t，当x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数；当x＞t时，f′（x）＞0，函数为减函数．则f（x）的最小值g（t）=f（t）=4t³-3t+3；
（2）求出g′（t）=12t²-3=0解得t=±

1

2

，
当-1≤t＜-

1

2

或

1

2

≤t≤1时，g′（t）＞0，函数为增函数；
当-

1

2

≤t≤

1

2

时，g′（t）＜0，函数为减函数．所以函数的递增区间为[-1，-

1

2

]与[

1

2

，1]，递减区间为[-

1

2

，

1

2

）；
（3）由（2）知g（t）的递增区间为[-1，-

1

2

]与[

1

2

，1]，递减区间为[-

1

2

，

1

2

）；
又g（1）=4，g（-

1

2

）=4
∴函数g（t）的最大值为4，
则g（t）≤4．
∵当t∈[-1，1]时，|g（t）|≤k恒成立，
∴k≥4

点评：考查学生利用导数求闭区间上函数最值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．