题目内容
(2009•中山模拟)已知定点F(1,0)和定直线x=-1,M,N是定直线x=-1上的两个动点且满足
⊥
,动点P满足
∥
,
∥
(其中O为坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线l与C相交于A,B两点
①求
•
的值;
②设
=λ
,当三角形OAB的面积S∈[2,
]时,求λ的取值范围.
FM |
FN |
MP |
OF |
NO |
OP |
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线l与C相交于A,B两点
①求
OA |
OB |
②设
AF |
FB |
5 |
分析:(1)可设P(x,y),M(-1,y1),N(-1,y2)(y1,y2均不为0),利用向量的坐标运算,结合条件满足
⊥
,动点P满足
∥
,
∥
即可求得动点P的轨迹C的方程;
(2)将C的方程y2=4x(x≠0)与直线l的方程x=my+1联立消掉y,利用韦达定理可求得①
•
的值;
解法一:利用
=λ
,求得y4=-
,y3=2
,从而得三角形OAB的面积S=
+
,由S∈[2,
]即可求得λ的取值范围;
解法二:利用
=λ
,可求得-y3=λy4,而y3y4=-4,从而|y3|=
,|y4|=
一下同解法一.
FM |
FN |
MP |
OF |
NO |
OP |
(2)将C的方程y2=4x(x≠0)与直线l的方程x=my+1联立消掉y,利用韦达定理可求得①
OA |
OB |
解法一:利用
AF |
FB |
2 | ||
|
λ |
λ |
1 | ||
|
5 |
解法二:利用
AF |
FB |
4 |
|y4| |
2 | ||
|
解答:解:(1)设P(x,y),M(-1,y1),N(-1,y2)(y1,y2均不为0),
由
∥
得y1=y,即M(-1,y)(2分)
由
∥
得y2=-
,即N(-1,-
)(2分)
∵
⊥
∴
•
=0⇒(2,-y1)•(-2,y2)=0⇒y1•y2=-4,
∴y2=4x(x≠0)
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0)(6分)
(2)①由(1)得P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0),F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,将其与C的方程联立,消去x得y2-4my-4=0.(8分)
设A,B的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),则y3y4=-4.
∴x3x4=
=1,(9分)
故
•
=x3x4+y3y 4=-3.(10分)
②解法一:∵
=λ
,
∴(1-x3,-y3)=λ(x4-1,y4),即
又
=4x3,
=4x4.
∴可得y4=-
,y3=2
.(11分)
故三角形OAB的面积S=
|OF|•|y3-y4|=
+
,(12分)
因为
+
≥2恒成立,所以只要解
+
≤
.
即可解得
≤λ≤
.(14分)
解法二:∵
=λ
,
∴(1-x3,-y3)=λ(x4-1,y4),
∴-y3=λy4,
∴|y3|=λ|y4|(注意到λ>0)
又由①有y3y4=-4,
∴|y3|=
,
∴|y4|=
三角形OAB的面积S=
|OF|(|y3|+|y4|)=
(2
+
)=
+
(以下解法同解法一)
由
MP |
OF |
由
NO |
OP |
y |
x |
y |
x |
∵
FM |
FN |
∴
FM |
FN |
∴y2=4x(x≠0)
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0)(6分)
(2)①由(1)得P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0),F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,将其与C的方程联立,消去x得y2-4my-4=0.(8分)
设A,B的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),则y3y4=-4.
∴x3x4=
1 |
16 |
y | 2 3 |
y | 2 4 |
故
OA |
OB |
②解法一:∵
AF |
FB |
∴(1-x3,-y3)=λ(x4-1,y4),即
|
又
y | 2 3 |
y | 2 4 |
∴可得y4=-
2 | ||
|
λ |
故三角形OAB的面积S=
1 |
2 |
λ |
1 | ||
|
因为
λ |
1 |
λ |
λ |
1 | ||
|
5 |
即可解得
3-
| ||
2 |
3+
| ||
2 |
解法二:∵
AF |
FB |
∴(1-x3,-y3)=λ(x4-1,y4),
∴-y3=λy4,
∴|y3|=λ|y4|(注意到λ>0)
又由①有y3y4=-4,
∴|y3|=
4 |
|y4| |
∴|y4|=
2 | ||
|
三角形OAB的面积S=
1 |
2 |
1 |
2 |
λ |
2 | ||
|
λ |
1 | ||
|
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查向量的坐标运算与直线与圆锥曲线的综合运用,突出考查方程思想与转化思想,属于难题.

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