题目内容

在三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
m
=(2b-c,cosC),
.
n
=(a,cosA),且
m
.
n

(1)求角A的大小;
(2)当
π
6
<B<
π
2
时,求函数y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)的值域.
分析:(1)根据向量平行的充要条件列式:(2b-c)cosA=acosC,结合正弦定理与两角和的正弦公式,化简可得2sinBcosA=sin(A+C),最后用正弦的诱导公式化简整理,可得cosA=
1
2
,从而得到角A的大小;
(2)将函数用降次公式与两角差的余弦公式展开,化简整理得y=1+sin(2B-
π
6
),结合A=
π
3
讨论锐角B的范围,从而得到2B-
π
6
的取值范围,由此不难得到函数y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)的值域.
解答:解:(1)∵
m
=(2b-c,cosC),
.
n
=(a,cosA),且
m
.
n
        
∴(2b-c)cosA=acosC即(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0(2分)
化简,得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)
∵A+B+C=π,
∴2sinBcosA=sin(π-B)=sinB…(4分)
∵在锐角三角形ABC中,sinB>0
∴两边约去sinB,得cosA=
1
2

结合A是三角形的内角,得A=
π
3
…(6分)
(2)∵锐角三角形ABC中,A=
π
3
,∴
π
6
<B<
π
2
…(7分)
∴y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)=1-cos2B+
1
2
cos2B+
3
2
sin2B
=1+
3
2
sin2B-
1
2
cos2B=1+sin(2B-
π
6
)…(9分)
π
6
<B<
π
2
,∴
π
6
<2B-
π
6
6

1
2
<sin(2B-
π
6
)≤1,可得
3
2
<y≤2
∴函数y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)的值域为(
3
2
,2].…(12分)
点评:本题给出向量平行,通过列式化简求A的大小,并求关于B的三角式的取值范围.着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识,属于中档题.
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