题目内容
在数列{an}中，a1=3，a2=3，且数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，数列{an+1-an}是公比为-1的等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时，
+
＜
（3）求证：当n∈N+时，
+
+
+…+
+
＜1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时，
| 1 |
| ak |
| 1 |
| ak+1 |
| 3 |
| 2k+1 |
（3）求证：当n∈N+时，
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2n-1 |
| 1 |
| a2n |
（1）在数列{an}中，a1=3，a2=3，
∵数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，
∴an+1+an=（a2+a1）•2n-1=3•2n，①
∵数列{an+1-2an}是公比为-1的等比数列，
∴an+1-2an=（a2-2a1）（-1）n-1=3（-1）n，②
①-②得3an=3•2n+3•（-1）n-1，
∴an=2n+（-1）n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，
+
=
+
=
＜
，
∴当k为正奇数时，
+
＜
…（8分）
（3）证明：当n∈N*时，
∵
+
＜
，
∴
+
+
+…+
=(
+
)+(
+
)+…+(
+
)
＜
+
+…+
=3×
=1-
＜1．
∵数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，
∴an+1+an=（a2+a1）•2n-1=3•2n，①
∵数列{an+1-2an}是公比为-1的等比数列，
∴an+1-2an=（a2-2a1）（-1）n-1=3（-1）n，②
①-②得3an=3•2n+3•（-1）n-1，
∴an=2n+（-1）n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，
| 1 |
| ak |
| 1 |
| ak+1 |
| 1 |
| 2k+1 |
| 1 |
| 2k+1-1 |
=
| 3•2k |
| 22k+1+2k-1 |
| 3 |
| 2k+1 |
∴当k为正奇数时，
| 1 |
| ak |
| 1 |
| ak+1 |
| 3 |
| 2k+1 |
（3）证明：当n∈N*时，
∵
| 1 |
| ak |
| 1 |
| ak+1 |
| 3 |
| 2k+1 |
∴
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a2n-1 |
=(
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a4 |
| 1 |
| a2n-1 |
| 1 |
| a2n |
＜
| 3 |
| 2 2 |
| 3 |
| 2 4 |
| 3 |
| 2 2n |
=3×
| ||||
1-
|
=1-
| 1 |
| 4n |
练习册系列答案
轻巧夺冠周测月考直通中考系列答案
相关题目
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．