题目内容
（文）若函数f（x）=-x3+3x2+ax+1在（-∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（理） 设O为坐标原点，向量
| OA |
| OB |
| OP |
| QA |
| QB |
分析：（文）由函数f（x）=-x3+3x2+ax+1在（-∞，1]上单调递减转化成f′（x）≤0在（-∞，1]上恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．
（理）可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得
•
=2（3λ2-8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q
（理）可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得
| QA |
| QB |
解答：（文）解：∵函数f（x）=-x3+3x2+ax+1在（-∞，1]上单调递减，
∴f′（x）=-3x2+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x2-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x2-6x在（-∞，1]上的最小值为-3，
∴a≤-3
∴故答案为：a≤-3．
（理）解：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得
=λ
，则有Q（λ，λ，2λ）
=(1-λ，2-λ，3-2λ)，
=(2-λ，1-λ，2-2λ)
当
•
=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ2-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当 λ=
时，取得最小值 -
此时Q (
，
，
)
故答案为：(
，
，
)
∴f′（x）=-3x2+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x2-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x2-6x在（-∞，1]上的最小值为-3，
∴a≤-3
∴故答案为：a≤-3．
（理）解：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得
| OQ |
| OP |
| QA |
| QB |
当
| QA |
| QB |
根据二次函数的性质可得当 λ=
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
故答案为：(
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
点评：此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，属于基础题．本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得
=λ
，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．
| OQ |
| OP |
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