Question

15．（1）已知f（x）是奇函数，定义域为D，g（x）是偶函数，定义域也是D，设F（x）=f（x）g（x），判断函数F（x）的奇偶性；
（2）已知f（x）、g（x）的定义域都是D，若F（x）=f（x）g（x）是偶函数，研究f（x）和g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 利用奇偶函数的定义，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，定义域为D，g（x）是偶函数，定义域也是D，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），
∴F（x）是奇函数；
（2）∵F（x）=f（x）g（x）是偶函数，
∴F（-x）=f（-x）g（-x）=F（x）=f（x）g（x），
∴f（-x）=f（x），g（-x）=g（x），或f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
∴f（x）和g（x）的奇偶性相同．

点评 本题考查奇偶函数的定义，考查学生的计算能力，正确运用奇偶函数的定义是关键．