Question

10．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，E为CC₁的中点
（Ⅰ）求证：平面A₁BD⊥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱锥B-A₁DE的体积．

Answer 1

分析 （I）如图所示，取BD的中点O，连接OA₁，OE，利用等腰三角形的性质可得：A₁O⊥BD．利用勾股定理与逆定理可得：A₁O⊥OE．于是A₁O⊥平面BDE，即可证明：平面A₁BD⊥平面EBD．
（II）由（I）可得：A₁O⊥平面BDE，因此${V}_{B-{A}_{1}DE}$=${V}_{{A}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}{A}_{1}O•{S}_{△BDE}$．

解答 （I）证明：如图所示，取BD的中点O，连接OA₁，OE，
∵A₁D=A₁B，∴A₁O⊥BD．
${A}_{1}{O}^{2}={A}_{1}{B}^{2}-O{B}^{2}$=$8{a}^{2}-（\sqrt{2}a）^{2}$=6a²，OE²=OC²+CE²=$（\sqrt{2}a）^{2}+{a}^{2}$=3a².${A}_{1}{E}^{2}$=${A}_{1}{C}^{2}+{C}_{1}{E}^{2}$=8a²+a²=9a²，∴${A}_{1}{O}^{2}+O{E}^{2}={A}_{1}{E}^{2}$，∴A₁O⊥OE．
∵BD∩OE=O，∴A₁O⊥平面BDE，
∵A₁O?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面EBD；
（II）解：∵S_△BDE=$\frac{1}{2}BD•OE$=$\sqrt{6}{a}^{2}$．
由（I）可得：A₁O⊥平面BDE，
${A}_{1}O=\sqrt{6}$a．
∴${V}_{B-{A}_{1}DE}$=${V}_{{A}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}{A}_{1}O•{S}_{△BDE}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{6}a×\sqrt{6}{a}^{2}$=2a³．

点评 本题考查了正方体的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质、勾股定理与逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．