题目内容
【题目】(本小题满分12分) 设函数
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)令<
≤
,其图像上任意一点P
处切线的斜率
≤
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,方程
在区间
内有唯一实数解,求实数
的取值范围。
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为
;(2)
;(3)
或
;
【解析】试题分析:(1)由题可知,求导后,利用导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,即可得到单调区间;(2)由导数的几何意义可求得其斜率为
,根据
≤
恒成立,得到
,由二次函数对称轴法得出最大值为
,即
;(3)由题可知,要使方程
在区间
上有唯一实数解,只需
有唯一实数解,根据导数法判断其单调性,进而解得
;
试题解析:(1)由题可知,的定义域为
,)当
时,
,对其求导得,
,令
,解得此时
,于是当
时,
,当
时,
,所以单调增区间为
,单调减区间为
;
,于是有
在
上恒成立,所以
,当
时,
取最大值
,所以
;
当时,
,由
得
,又
,于是
,要使方程
在区间
上有唯一实数解,只需
有唯一实数解,令
,于是
,由
,得
,由
,得
,于是
在区间
上是增函数,在区间
上是减函数,
,故
;
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩,如下表:
编号 成绩 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
物理( | 90 | 85 | 74 | 68 | 63 |
数学( | 130 | 125 | 110 | 95 | 90 |
(1)求数学成绩关于物理成绩
的线性回归方程
(
精确到
),若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;
(2)要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛,以表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
(参数公式: ,
.)
参考数据: ,