题目内容
21.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为
a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
本小题主要考查差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).
（Ⅱ）T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式，得
Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…
=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an. ①
在①式两端同乘1+r，得
(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r). ②
②-①,得
rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an
,
即
。
如果记
，
，
则Tn=An+Bn,
其中｛An｝是以
为首项，以1+r(r＞0)为公比的等比数列;｛Bn｝是以
为首项，
为公差的等差数列。
练习册系列答案
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与
（n≥2）的递推关系式；