Question

（本题16分）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a₁, a₂, … 是一个公差为 d  的等差数列.  与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r>0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a₁（1+r）^n－1，第二年所交纳的储备金就变成 a₂（1+r）^n－2，……. 以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T_n与T_n－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证T_n=A_n+ B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列.

Answer 1

(1)  (Ⅱ) 略

解析:

解：（I）我们有   3分

 （II）反复使用上述关系式，得

      ①     5分

在①式两端同乘1+r，得② 

②－①，得

点评：本题考查等差、等比数列及其有关数列求和，运算能力、逻辑推理能力、思维能力，难题