Question

已知二次函数y=f（x）的图象与x轴交于（0，0），（2，0）且有最大值为1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）设g（x）=|f（x）|，画出g（x）的大致图象，并指出g（x）的单调区间；
（3）若方程g（x）=m恰有四个不同的解，根据图象指出实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=f（x）的图象与x轴交于（0，0），（2，0）可设出函数的交点式（两点式）方程，然后根据函数y=f（x）有最大值1，可求出a值，进而得到y=f（x）的解析式；
（2）由g（x）=|f（x）|，结合二次函数的图象和性质及函数图象的对折变换法则，即可得到函数g（x）的图象，进而得到函数g（x）的单调区间；
（3）根据（2）中函数g（x）的图象，分析出m取不同值时，函数图象与直线y=m的交点的个数，易得方程g（x）=m恰有四个不同的解时，实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵二次函数y=f（x）的图象与x轴交于（0，0），（2，0）
设f（x）=ax（x-2）
又∵f（x）有最大值1，则a＜0，且-a=1，则a=-1，
∴f（x）=-x（x-2）；
（2）二次函数y=f（x）的图象如下图所示：

由图象可知g（x）的增区间为（0，1），（2，+∞），减区间为（-∞，0），（1，2）；
（3）因为方程g（x）=m的解是g（x）的图象与直线y=m的交点的横坐标，
方程g（x）=m恰有四个解，说明g（x）的图象与直线y=m恰有四个交点，
由图象可知0＜m＜1．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中画出函数的图象然后利用数形结合的思想进行解答，是此类问题的解答关键．