题目内容

设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对任意实数x，恒有 $数学公式$ 成立．
（1）求实数a和b的值；
（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；
（3）若两相异实数x₁、x₂∈（0，π），且满足f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）的值．

解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx= $\text{[math]}$ sin（ωx+φ）（ω＞0），
又f（x）≤f（ $\text{[math]}$ ）=4恒成立，
∴ $\text{[math]}$ =4，即a²+b²=16．…①（1分）
∵f（x）的最小正周期为π，
∴ω= $\text{[math]}$ =2，（2分）
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）_max=f（ $\text{[math]}$ ）=4，
∴asin $\text{[math]}$ +bcos $\text{[math]}$ =4，
即a+ $\text{[math]}$ b=8．…②（3分）
由①、②解得a=2，b=2 $\text{[math]}$ ．（4分）
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2 $\text{[math]}$ cos2x=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．（5分）
∵0＜x＜π，
∴ $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，列表如下：（6分）

∴函数f（x）的图象如图所示：（8分）

（3）∵f（x₁）=f（x₂），由（2）知，
当0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ 时，x₁+x₂=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（9分）
∴f（x₁+x₂）=f（ $\text{[math]}$ ）=4 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ；…（10分）
当 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂＜π时，x₁+x₂=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（11分）
∴f（x₁+x₂）=f（ $\text{[math]}$ ）=4sin $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ；…（12分）．
综上，f（x₁+x₂）=2 $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（1）将f（x）=asinωx+bcosωx化为；f（x）= $\text{[math]}$ sin（ωx+φ），由题意可得 $\text{[math]}$ ，从而可求得a和b的值；
（2）由f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）即可做出其大致图象；
（3）当0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ 时，x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂＜π时，x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，从而可求得f（x₁+x₂）的值．
点评：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考察两角和与差的正弦，突出五点作图法的考察与应用，综合性强，难度大．