题目内容
11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,O为△ABC三边中垂线的交点.(1)若b-c=$\frac{1}{4}$a,2sinB=3sinC,求cosA的值;
(2)若b2-2b+c2=0,求$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范围.
分析 (1)利用正弦定理可求2b=3c,结合已知可得a=2c,b=$\frac{3c}{2}$,用余弦定理即可求值得解.
(2)如图所示,延长AO交外接圆于D.由于AD是⊙O的直径,可得∠ACD=∠ABD=90°,于是cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$,cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$.可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•($\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$)=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$2-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$2,.再利用c2=2b-b2,化为$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=(b-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{1}{4}$.由于c2=2b-b2>0,解得0<b<2.令f(b)=(b-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{1}{4}$.利用二次函数的单调性即可得出.
解答 解:(1)∵2sinB=3sinC,∴2b=3c.
又∵b-c=$\frac{1}{4}$a,∴a=2c,b=$\frac{3c}{2}$,
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{4}$.
(2)∵O为△ABC三边中垂线的交点,
∴O为三角形外接圆的圆心.如图所示,延长AO交外接圆于D,连接BD、CD,
∵AD是圆O的直径,
∴∠ACD=∠ABD=90°,cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$,cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$.
∵c2=2b-b2,
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•($\overrightarrow{AC}$-AB)=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$2-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$2
=$\frac{1}{2}$b2-${\frac{1}{2}}^{\;}$c2=$\frac{1}{2}$b2-$\frac{1}{2}$(2b-b2)
=b2-b=(b-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{1}{4}$.
∵c2=2b-b2>0,
∴0<b<2,
设f(b)=(b-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{1}{4}$,又f(0)=0,f(2)=2,
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的取值范围是:[-$\frac{1}{4}$,2].
点评 本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法,属于难题.
A. | $\frac{5π}{6}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{6}$ | C. | 12 | D. | 6$\sqrt{2}$ |
A. | 是奇函数而不是偶函数 | B. | 是偶函数而不是奇函数 | ||
C. | 既是奇函数又是偶函数 | D. | 既不是奇函数也不是偶函数 |
有关系 | 无关系 | 不知道 | |
40岁以下 | 800 | 450 | 200 |
40岁以上(含40岁) | 100 | 150 | 300 |
(2)在持“不知道”态度的人中,用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体:
①从这10个人中选取3人,求至少一人在40岁以下的概率;
②从这10人中选取3人,若设40岁以下的人数为X,求X的分布列和数学期望.