题目内容

(本题11分)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
解:(1)当边FG恰好经过点C时,∠CFB=60°,BF=3﹣t,在Rt△CBF中,BC=2,tan∠CFB=,即tan60=,解得BF=2,即3﹣t=2,t=1,∴当边FG恰好经过点C时,t=1;
(2)当0≤t<1时,S=2t+4
当1≤t<3时,S=﹣t2+3t+
当3≤t<4时,S=﹣4t+20
当4≤t<6时,S=t2﹣12t+36
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