Question

如图，已知直线l与抛物线y²=x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴相交于点M，若y₁y₂=-1，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）M点的坐标为（1，0），求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1 ） 设M点的坐标为（x₀，0），直线l方程为 x=my+x₀，代入y²=x得y²-my-x₀=0 可证得M点的坐标为（1，0）．再根据y₁y₂=-1结合向量的坐标运算得出OA⊥OB．
（2）直线AB过点（1，0），OA⊥OB，当直线AB过（1，0）且垂直于x轴时，△AOB的面积的取最小值．由此能求出结果．

解答：解：（1 ） 设M点的坐标为（x₀，0），直线l方程为 x=my+x₀，代入y²=x得
y²-my-x₀=0        ①，
y₁、y₂是此方程的两根，
∴x₀=-y₁y₂=1，即M点的坐标为（1，0）．
∵y₁y₂=-1
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴OA⊥OB．
（2）由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x₀=1，
于是S_△AOB=

1

2

|OM||y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

m2+4

≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．