Question

18．已知定义域为R的函数f（x）=a+$\frac{1}{{{4^x}+1}}$是奇函数．
（1）求a的值，并指出函数f（x）的单调性
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值求a的值；根据解析式指出函数f（x）的单调性
（2）根据函数f（x）的单调性，奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）=0，
即a+$\frac{1}{2}$=0，
所以a=-$\frac{1}{2}$；
f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{{4^x}+1}}$在R上是单调减函数
（2）因为f（x）是奇函数，在（-∞，+∞）上为减函数．
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜-$\frac{1}{3}$．
所以k的取值范围是k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．