Question

【题目】已知直线l的方程为x=﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点．
（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的 ，求直线l1的方程；
（2）若椭圆中a，c满足 =2，求中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点作直线l2与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1 ， F2 ， 求三角形△NF1F2面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PQ为圆周的 ，∴ ．∴O点到直线l1的距离为 ．

设l1的方程为y=k（x+2），∴ ，∴ ．∴l1的方程为 ．

（2）解：设椭圆方程为 ，半焦距为c，则 ．∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，根据椭圆与圆的对称性

则a=1或b=1．

当a=1时， ，∴所求椭圆方程为 ；

当b=1时，b2+c2=2c，∴c=1，∴a2=b2+c2=2．

所求椭圆方程为 ．

（3）解：设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，

N点的坐标为 ，

若椭圆为 ．其焦点F1，F2

分别为点A，B故 ，

若椭圆为 ，其焦点为 ，

此时

【解析】（1）由PQ为圆周的 ，可得 ．O点到直线l1的距离为 ．再利用点到直线的距离公式即可得出．（2）设椭圆方程为 ，半焦距为c，则 ，利用椭圆与圆的对称性质即可得出．（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，N点的坐标为 ，再利用三角形面积计算公式即可得出．