题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左右顶点为
,右焦点为
,一条准线方程是
,点
为椭圆
上异于
的两点,点
为
的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线交直线
于点
,记直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值;
(3)若,求直线
斜率的取值范围。
【答案】(1);(2)见解析;(3)
。
【解析】
(1)由椭圆的准线方程和右焦点可得a,c,再解出b即可;(2)由A(﹣2,0),B(2,0),设P
,直线PB的方程为
,代入椭圆方程求得P的坐标,从而得M点坐标,再运用直线的斜率公式求出
,
,化简计算可得定值;(3)由
=0,可得AP⊥AQ,即kAQkAQ=﹣1,设AP:
,代入椭圆方程3x2+4y2=12,解方程求得P的坐标,将k换为﹣
可得Q的坐标,再由中点坐标公式可得R的坐标,再由直线的斜率公式,结合换元法和基本不等式即可得到所求范围.
(1)设椭圆焦距为,∵右焦点为
,∴
,
∵一条准线方程是,∴
,∴
.
∴椭圆的标准方程为
;
(2)设,则
∵
,∴
,
又,∴直线
,
又,∴
,
∴。
(3)设直线,代入
,
消去整理得
,
由,得
,
,
∵,∴直线
,
同理可得 ,
∵点为
的中点,∴
, 又
,
∴,
设,则
,∴
,
当时,
,
当时,
,
∵或
,∴
或
,
综上可知直线斜率的取值范围是
。
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