Question

8．如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，开始旋转时水轮上的点P在P₀位置，P₀距离水面3米，已知水轮每分钟旋转4圈，求点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）的函数关系式．

Answer 1

分析 根据题意，设出水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间t（秒）满足的函数关系，求出对应的系数即可．

解答 解：根据题意，设水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间t（秒）满足的函数关系为
y=Asin（ωt+φ）+k（ω＞0，A＞0），
∵水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2，
∴A=3，k=2；
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
∴T=15=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=$\frac{2π}{15}$；
当t=0时水轮上的点P在P₀位置，
∴3sinφ+2=3，∴sinφ=$\frac{1}{3}$，
解得φ=arcsin$\frac{1}{3}$；
∴P到水面的距离y（米）与时间x（秒）的函数关系式为
y=sin（$\frac{2π}{15}$t+arcsin$\frac{1}{3}$）+2．

点评 本题考查了三角函数模型的构建与应用问题，也考查了分析解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求出解析式，是综合性题目．