Question

13．求下列函数的值域．
（1）y=ln（1-2x），x∈（-∞，0]；
（2）y=$\root{3}{x+2}$，x∈（-∞，+∞）；
（3）y=$\frac{2-x}{1+x}$，x≠-1；
（4）y=2cos$\frac{x}{2}$，x∈[0，2π]．

Answer 1

分析 （1）可根据x的范围求出1-2x的范围，然后根据对数函数的单调性即可得出该函数的值域；
（2）可判断该函数在R上单调递增，然后根据x分别趋向正无穷和负无穷时，y的取值情况，从而便可得出原函数的值域；
（3）分离常数得到：$y=-1+\frac{3}{1+x}$，然后根据$\frac{3}{1+x}≠0$即可得出原函数的值域；
（4）由x的范围求出$\frac{x}{2}$的范围，然后根据余弦函数y=cosx的单调性即可求出该函数的值域．

解答 解：（1）x≤0；
∴-2x≥0；
∴1-2x≥1；
∴ln（1-2x）≥ln1=0；
∴原函数的值域为[0，+∞）；
（2）x增大时，y也增大，∴根据单调性的定义知，该函数在R上为增函数；
x趋向正无穷时，y趋向正无穷；x趋向负无穷时，y趋向负无穷；
∴原函数的值域为R；
（3）$y=\frac{2-x}{1+x}=\frac{-（1+x）+3}{1+x}=-1+\frac{3}{1+x}$；
$\frac{3}{1+x}≠0$；
∴y≠-1；
∴原函数的值域为{y|y≠-1}；
（4）0≤x≤2π；
∴$0≤\frac{x}{2}≤π$；
函数cosx在[0，π]上单调递减；
∴$cosπ≤cos\frac{x}{2}≤cos0$；
即$-1≤cos\frac{x}{2}≤1$；
∴-2≤y≤2；
∴该函数的值域为[-2，2]．

点评 考查函数值域的概念，对数函数的单调性，分离常数法求函数值域，根据单调性定义判断函数的单调性，根据单调性求函数值域的方法，以及余弦函数的单调性．