Question

7．已知函数f（x）=x²-mx+2的两个零点为x=1和x=n．
（1）求m，n的值；
（2）若函数g（x）=x²-ax+2（a∈R）在（-∞，1]上单调递减，解关于x的不等式log_a（nx+m-2）＜0．

Answer 1

分析 （1）由题意即知x=1，x=n是方程x²-mx+2=0的两个解，利用韦达定理即可求出m=3，n=2；
（2）由二次函数的单调性即可判断出a＞2，从而函数y=log_ax为增函数，从而由原不等式可得到0＜2x+1＜1，解该不等式即得原不等式的解．

解答 解：（1）根据题意，x=1和x=n是方程x²-mx+2=0的两个解；
由根和系数的关系可知$\left\{\begin{array}{l}{1+n=m}\\{1•n=2}\end{array}\right.$；
∴m=3，n=2；
（2）函数g（x）的对称轴为x=$\frac{a}{2}$；
∵g（x）在（-∞，1]上单调递减；
∴$\frac{a}{2}≥1$；
∴a≥2；
∴由log_a（2x+1）＜0得0＜2x+1＜1；
∴$-\frac{1}{2}＜x＜0$；
∴不等式的解集为$（-\frac{1}{2}，0）$．

点评 考查函数零点的概念，弄清函数零点和对应方程解的关系，韦达定理，以及二次函数的单调性及单调区间，对数函数的单调性．